Al trazar una ruta en avión algo muy importante es la distancia a recorrer, puesto hay que buscar recorrer siempre la mínima posible. Cuando se miran las rutas aéreas en un mapa, sin embargo, los trayectos de los aviones parecen ilógicos, pues la distancia más corta entre dos puntos en un mapa bidimensional (2D) es la trazada por la recta que los une. Al mirar estas rutas se aprecia que todas son curvas, y además existen ciertas rutas de mucha distancia cuya curvatura es muy significativa, como la ruta de Los Ángeles (California, EE.UU.) a Madrid (España), que no se corresponde para nada con una línea recta en el mapa bidimensional, como vemos a continuación: Esta diferencia se aprecia básicamente por la forma en la que está construido el mapa 2D de Google Maps. Como toda representación en dos dimensiones de un objeto de tres dimensiones, el mapa de Google Maps es una proyección. Las proyecciones 2D de objetos 3D pueden ser muy diferentes, pero la más utilizada para representar
Las aplicaciones de las derivadas son muy variadas, desde estudiar las características de una función matemática, como su crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad o convexidad, hasta resolver problemas de indeterminaciones en ciertos límites. Con respecto a las características de una función matemática, una derivada puede servir para conocer: Máximos o mínimos de una función: Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de dicha función en ese punto, en un máximo o mínimo, como la pendiente de la función es 0 (pasa bien de negativa a positiva en el caso de un mínimo o de positiva a negativa en el caso de un máximo), la derivada de la función también es 0. Para hallar un máximo o mínimo de una función se busca $f'(x)=0$. En ese punto se cumplirá que la función tiene un máximo, un mínimo, o un punto de inflexión. Un punto de inflexión es aquel en el que la pendiente de la función es 0 pero su signo es el mismo antes y después de ese punto. Par