Las aplicaciones de las derivadas son muy variadas, desde estudiar las características de una función matemática, como su crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad o convexidad, hasta resolver problemas de indeterminaciones en ciertos límites. Con respecto a las características de una función matemática, una derivada puede servir para conocer:
- Máximos o mínimos de una función:
Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de dicha función en ese punto, en un máximo o mínimo, como la pendiente de la función es 0 (pasa bien de negativa a positiva en el caso de un mínimo o de positiva a negativa en el caso de un máximo), la derivada de la función también es 0.
Para hallar un máximo o mínimo de una función se busca f′(x)=0. En ese punto se cumplirá que la función tiene un máximo, un mínimo, o un punto de inflexión. Un punto de inflexión es aquel en el que la pendiente de la función es 0 pero su signo es el mismo antes y después de ese punto. Para determinar que tipo de punto característico tiene una función, se encuentran todos los puntos que cumplen f′(x)=0. Luego se comprueba el signo de f′(x) en cada zona separada por los puntos anteriormente calculados, reemplazando cualquier punto de esa zona en f′(x). Tenemos entonces tres posibilidades para cada punto:
- Si antes y después del punto el signo de f′(x) es el mismo, se trata de un punto de inflexión.
- Si antes del punto el signo de f′(x) es positivo y después del punto es negativo, se trata de un máximo.
- Si antes del punto el signo de f′(x) es negativo y después del punto es positivo, se trata de un mínimo.
Concavidad y convexidad de una función en un punto:
- Cóncava si f″.
- Convexa si f''(x)>0.