Las aplicaciones de las derivadas son muy variadas, desde estudiar las características de una función matemática, como su crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad o convexidad, hasta resolver problemas de indeterminaciones en ciertos límites. Con respecto a las características de una función matemática, una derivada puede servir para conocer:
- Máximos o mínimos de una función:
Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de dicha función en ese punto, en un máximo o mínimo, como la pendiente de la función es 0 (pasa bien de negativa a positiva en el caso de un mínimo o de positiva a negativa en el caso de un máximo), la derivada de la función también es 0.
Para hallar un máximo o mínimo de una función se busca $f'(x)=0$. En ese punto se cumplirá que la función tiene un máximo, un mínimo, o un punto de inflexión. Un punto de inflexión es aquel en el que la pendiente de la función es 0 pero su signo es el mismo antes y después de ese punto. Para determinar que tipo de punto característico tiene una función, se encuentran todos los puntos que cumplen $f'(x)=0$. Luego se comprueba el signo de $f'(x)$ en cada zona separada por los puntos anteriormente calculados, reemplazando cualquier punto de esa zona en $f'(x)$. Tenemos entonces tres posibilidades para cada punto:
- Si antes y después del punto el signo de $f'(x)$ es el mismo, se trata de un punto de inflexión.
- Si antes del punto el signo de $f'(x)$ es positivo y después del punto es negativo, se trata de un máximo.
- Si antes del punto el signo de $f'(x)$ es negativo y después del punto es positivo, se trata de un mínimo.
Concavidad y convexidad de una función en un punto:
- Cóncava si $f''(x)<0$.
- Convexa si $f''(x)>0$.