El rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes que tiene una matriz.
Para determinar el rango de una matriz, se puede aplicar el método de eliminación de Gauss-Jordan, una forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si tenemos:
\begin{equation} \left \{ \begin{matrix} x+y+z=0 \\ x+2y-z=1\\2x+y-2z=-2 \end{matrix} \right. \end{equation}
Podemos construir la matriz:
\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \end{array} \right) \end{equation}
Para resolver el sistema, hay que llegar a la matriz escalonada (cada elemento debajo de su diagonal principal es 0).
Primero se busca cambiar la segunda y la tercera fila por combinaciones lineales de las filas de la matriz (suma del producto de cada fila por un número) de tal forma que en la primera columna nos quede un 0. También es posible intercambiar 2 filas completas sin alterar el resultado del sistema. Llamando F1, F2 y F3 a las filas:
Sustituimos F3 por F3-2F1 y F2 por F2-F1:
\begin{equation}\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -4 & -2 \end{array} \right) \end{equation}
Ahora buscamos un 0 en la segunda columna de F3, sustituimos F3 por F3 + F2:
\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -6 & -1 \end{array} \right) \end{equation}
Y ya tenemos la matriz escalonada. El sistema quedaría entonces:
\begin{equation} \left \{ \begin{matrix} x+y+z=0 \\ y-2z=1\\ -6z=-1 \end{matrix} \right. \rightarrow \left \{ \begin{matrix} x=-y-z\\ y-\displaystyle \frac {2}{6}=1\\ z=\displaystyle \frac {1}{6} \end{matrix} \right. \rightarrow \left \{ \begin{matrix} x=-y-z\\ y=\displaystyle \frac {4}{3}\\ z=\displaystyle \frac {1}{6} \end{matrix} \right. \rightarrow \left \{ \begin{matrix} x=-\displaystyle \frac {4}{3}-\frac {1}{6}=-\frac {3}{2}\\ y=\displaystyle \frac {4}{3}\\ z=\displaystyle \frac {1}{6} \end{matrix} \right. \end{equation}
Rango de una matriz:
Es el número de filas diferentes de 0 que hay en su matriz escalonada reducida.