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1.2. Operaciones con matrices


Al igual que con los números reales, las matrices se pueden relacionar mediante operaciones matemáticas, como la suma y el producto. 

2.1. Suma de matrices

Para que dos matrices se puedan sumar, deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y columnas). 

Al sumar dos matrices, la matriz resultante tendrá como elementos la suma de los elementos de la misma fila y columna de las matrices a sumar:

\begin{equation}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}C=A+B= \begin{pmatrix}  a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m 1} & a_{m2}+b_{m 2} & \dots & a_{mn}+b_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

2.2. Producto por un escalar

Al multiplicar una matriz por un escalar (un número), cada elemento de la matriz resultante es el mismo elemento de la matriz original multiplicado por el escalar:

\begin{equation}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}B=n\times A= \begin{pmatrix} n\times a_{11} & n\times a_{12} & \dots & n\times a_{1 n} \\ n\times a_{21} & n\times a_{22} & \dots & n\times a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n\times a_{m 1} & n\times a_{m 2} & \dots & n\times a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

2.2.1. Propiedades del producto por un escalar

Con n y m escalares, y A y B  matrices:
Clausura: nA también es una matriz
Elemento neutro: Existe un elemento tal que n•A=A, en este caso es n=1
Propiedad asociativa: (nm)A=n(mA) 
Propiedad distributiva: n(A+B)=nA+nB                    (n+m)A=nA+mA

2.3. Producto de matrices

Para que dos matrices se puedan multiplicar, la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que filas tenga la segunda matriz. Cada elemento de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la misma fila de la matriz A por cada elemento de la misma columna de la matriz B y sumándolos.
Por ejemplo, al multiplicar una matriz A de dimensión m⨯n por una matriz B de dimensión n⨯p: 

\begin{equation}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 p} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{np} \end{pmatrix} \end{equation}


\begin{equation}C=A\times B=\begin{pmatrix}C_1 & C_2 & \dots  & C_p \end{pmatrix} \end{equation}

donde

\begin{equation}C_1=\begin{pmatrix}a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+\dots +a_{1n}\times b_{n1} \\ a_{21}\times b_{11}+a_{22}\times b_{21}+\dots +a_{2n}\times b_{n1} \\ \vdots \\ a_{m1}\times b_{11}+a_{m2}\times b_{21}+\dots +a_{mn}\times b_{n1}\end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}C_2=\begin{pmatrix}a_{11}\times b_{12}+a_{12}\times b_{22}+\dots +a_{1n}\times b_{n2} \\ a_{21}\times b_{12}+a_{22}\times b_{22}+\dots +a_{2n}\times b_{n2} \\ \vdots \\ a_{m1}\times b_{12}+a_{m2}\times b_{22}+\dots +a_{mn}\times b_{n2} \end{pmatrix} \end{equation}


\begin{equation}C_p=\begin{pmatrix}a_{11}\times b_{1p}+a_{12}\times b_{2p}+\dots +a_{1n}\times b_{np} \\ a_{21}\times b_{1p}+a_{22}\times b_{2p}+\dots +a_{2n}\times b_{np} \\ \vdots \\ a_{m1}\times b_{1p}+a_{m2}\times b_{2p}+\dots +a_{mn}\times b_{np} \end{pmatrix} \end{equation}



2.3.1. Propiedades del producto de matrices

Clausura: AB también es una matriz
Elemento neutro: Existe un elemento tal que I•A=A•I=A,  con A una matriz cuadrada, en este caso I es la matriz identidad de misma dimensión de A (la matriz que tiene todos los elementos de su diagonal principal igual a 1 y el resto igual a 0).
Propiedad asociativa: (AB)C=A(BC) 
Propiedad distributiva: C(A+B)=CA+CB                    (A+B)C=AC+BC





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