Ir al contenido principal

1.2. Operaciones con matrices


Al igual que con los números reales, las matrices se pueden relacionar mediante operaciones matemáticas, como la suma y el producto. 

2.1. Suma de matrices

Para que dos matrices se puedan sumar, deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y columnas). 

Al sumar dos matrices, la matriz resultante tendrá como elementos la suma de los elementos de la misma fila y columna de las matrices a sumar:

\begin{equation}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}C=A+B= \begin{pmatrix}  a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m 1} & a_{m2}+b_{m 2} & \dots & a_{mn}+b_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

2.2. Producto por un escalar

Al multiplicar una matriz por un escalar (un número), cada elemento de la matriz resultante es el mismo elemento de la matriz original multiplicado por el escalar:

\begin{equation}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}B=n\times A= \begin{pmatrix} n\times a_{11} & n\times a_{12} & \dots & n\times a_{1 n} \\ n\times a_{21} & n\times a_{22} & \dots & n\times a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n\times a_{m 1} & n\times a_{m 2} & \dots & n\times a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

2.2.1. Propiedades del producto por un escalar

Con n y m escalares, y A y B  matrices:
Clausura: nA también es una matriz
Elemento neutro: Existe un elemento tal que n•A=A, en este caso es n=1
Propiedad asociativa: (nm)A=n(mA) 
Propiedad distributiva: n(A+B)=nA+nB                    (n+m)A=nA+mA

2.3. Producto de matrices

Para que dos matrices se puedan multiplicar, la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que filas tenga la segunda matriz. Cada elemento de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la misma fila de la matriz A por cada elemento de la misma columna de la matriz B y sumándolos.
Por ejemplo, al multiplicar una matriz A de dimensión m⨯n por una matriz B de dimensión n⨯p: 

\begin{equation}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 p} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{np} \end{pmatrix} \end{equation}


\begin{equation}C=A\times B=\begin{pmatrix}C_1 & C_2 & \dots  & C_p \end{pmatrix} \end{equation}

donde

\begin{equation}C_1=\begin{pmatrix}a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+\dots +a_{1n}\times b_{n1} \\ a_{21}\times b_{11}+a_{22}\times b_{21}+\dots +a_{2n}\times b_{n1} \\ \vdots \\ a_{m1}\times b_{11}+a_{m2}\times b_{21}+\dots +a_{mn}\times b_{n1}\end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation}C_2=\begin{pmatrix}a_{11}\times b_{12}+a_{12}\times b_{22}+\dots +a_{1n}\times b_{n2} \\ a_{21}\times b_{12}+a_{22}\times b_{22}+\dots +a_{2n}\times b_{n2} \\ \vdots \\ a_{m1}\times b_{12}+a_{m2}\times b_{22}+\dots +a_{mn}\times b_{n2} \end{pmatrix} \end{equation}


\begin{equation}C_p=\begin{pmatrix}a_{11}\times b_{1p}+a_{12}\times b_{2p}+\dots +a_{1n}\times b_{np} \\ a_{21}\times b_{1p}+a_{22}\times b_{2p}+\dots +a_{2n}\times b_{np} \\ \vdots \\ a_{m1}\times b_{1p}+a_{m2}\times b_{2p}+\dots +a_{mn}\times b_{np} \end{pmatrix} \end{equation}



2.3.1. Propiedades del producto de matrices

Clausura: AB también es una matriz
Elemento neutro: Existe un elemento tal que I•A=A•I=A,  con A una matriz cuadrada, en este caso I es la matriz identidad de misma dimensión de A (la matriz que tiene todos los elementos de su diagonal principal igual a 1 y el resto igual a 0).
Propiedad asociativa: (AB)C=A(BC) 
Propiedad distributiva: C(A+B)=CA+CB                    (A+B)C=AC+BC





Entradas populares de este blog

Radiaciones electromagnéticas, ¿son peligrosas?

En los últimos tiempos, la tecnología ha avanzado a pasos agigantados, hasta llegar a conectar multitud de dispositivos a la red. Estamos en la era de la información, y esa información tiene que transmitirse entre los dispositivos.  Aunque el método más rápido y fiable es emplear siempre algún tipo de conexión por cable, la necesidad de movilidad de ciertos aparatos electrónicos hace que sea necesaria una conexión de datos inalámbrica. En otras ocasiones, aunque la naturaleza de la aplicación permita establecer una conexión cableada entre transmisión y recepción, es más praćtico y económico transmitir la información de forma inalámbrica (es el caso de la TDT, Televisión Digital Terrestre).  Aunque los mecanismos de codificación de la información transmitida de manera inalámbrica son muy variados, todas estas comunicaciones tienen algo en común: se realizan mediante ondas electromagnéticas. Simplificando el tema al máximo, una onda electromagnética utilizada para enviar informa...
Leer más

1.5. Método de Gauss-Jordan. Rango de una matriz.

El rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes que tiene una matriz.  Para determinar el rango de una matriz, se puede aplicar el método de eliminación de Gauss-Jordan, una forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si tenemos:   \begin{equation} \left \{ \begin{matrix} x+y+z=0 \\ x+2y-z=1\\2x+y-2z=-2 \end{matrix} \right. \end{equation}   Podemos construir la matriz:  \begin{equation} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \end{array} \right)  \end{equation}  Para resolver el sistema, hay que llegar a la matriz escalonada (cada elemento debajo de su diagonal principal es 0). Primero se busca cambiar la segunda y la tercera fila por combinaciones lineales de las filas de la matriz (suma del producto de cada fila por un número) de tal forma que en la primera columna nos quede un 0. También es posible intercambiar 2 filas com...
Leer más

¿Por qué las aves se pueden posar en los cables de alta tensión?

Existen cada vez más líneas de alta tensión en la red eléctrica, y muchos animales las toman ya como elementos naturales del paisaje. Es el caso de las aves, que con mucha frecuencia pueden verse descansando sobre estas líneas. Pero, ¿por qué no es peligroso para ellas posarse en elementos con tan alta tensión? Se puede pensar entonces que es posible que las líneas de alta tensión no son tan peligrosas, pero nada más lejos de la realidad. Estas líneas fríen cada año a millones de aves en todo el mundo. La diferencia está fundamentalmente en el tamaño de las aves.  Las víctimas más comunes de estos accidentes son las aves rapaces. Para ellas las líneas no son tan seguras, porque debido a su gran tamaño, pueden llegar a tocar dos cables al mismo tiempo, con consecuencias fatales. Para entender este fenómeno es muy útil relacionar el tendido eléctrico con ríos. Se puede entender entonces cada cable como un río, y la corriente de cada cable como el caudal del río. La tensión es el pote...
Leer más