Las operaciones fundamentales con vectores son:
Producto de un vector por un número:
Al multiplicar un vector por un número (un escalar) el vector resultante tiene la misma dirección, sentido y origen que el original, y su módulo es el módulo del vector original multiplicado por el número.
Suma y resta de vectores:
Para sumar o restar vectores con coordenadas respecto a una determinada base, simplemente se opera con dichas coordenadas:
\begin{equation} \overrightarrow{u} (x_1,y_1,z_1) \hspace{2cm} \overrightarrow{v} (x_2,y_2,z_2) \end{equation}
\begin{equation} \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}= (x_1+x_2,\hspace{0.5cm} y_1+y_2, \hspace{0.5cm} z_1+z_2) \end{equation}
Ángulo de dos vectores (𝛼):
\begin{equation} \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\left | \overrightarrow{ u} \right | \left | \overrightarrow{ v } \right | } = \frac{ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2+ z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}} \end{equation}
Proyección de un vector sobre otro:
\begin{equation} \overrightarrow{ u} \hspace{0.3cm} sobre \hspace{0.3cm} \overrightarrow{ v} \rightarrow Vector \hspace{0.3cm} proyección = \frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\left | \overrightarrow{ v} \right |^2} \overrightarrow{v} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2+ z_1 \cdot z_2}{x_2^2+y_2^2+z_2^2}(x_2,y_2,z_2) \end{equation}
Producto escalar de vectores:
El producto escalar de dos vectores, se denomina así porque resulta en un número, o escalar, que es igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman.
Respecto de unas coordenadas, tenemos:
\begin{equation} \overrightarrow{u} (x_1,y_1,z_1) \hspace{2cm} \overrightarrow{v} (x_2,y_2,z_2) \end{equation}
\begin{equation} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2+ z_1 \cdot z_2 \end{equation}
Producto vectorial:
El producto vectorial entre dos vectores se llama así porque tiene como resultado un vector. \begin{equation} \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{array}\right| \overrightarrow{i}-\left| \begin{array}{cc} x_{1} & z_{1} \\ x_{2} & z_{2} \end{array}\right| \overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{cc} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{array}\right| \overrightarrow{k} \end{equation}
Producto mixto de tres vectores
Teniendo
\begin{equation} \overrightarrow{u} (x_1,y_1,z_1) \hspace{2cm} \overrightarrow{v} (x_2,y_2,z_2) \hspace{2cm} \overrightarrow{w} (x_3,y_3,z_3) \end{equation}
El producto mixto de los tres vectores es el número que se obtiene por:
\begin{equation} \begin{split} & \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right ] = \overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = \\ & =(x_1,y_1,z_1) \cdot \left ( \begin{vmatrix} y_2 & z_2 \\ y_3 & z_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} z_2 & x_2 \\ z_3 & x_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix}\right ) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} \end{split} \end{equation}