Un plano tiene dos parámetros vectoriales fundamentales:
Un punto P, para determinar el vector posición del plano p.
Dos vectores $\overrightarrow { u } $ y $\overrightarrow { v } $, contenidos en el plano y linealmente independientes.
Ecuación vectorial:
\begin{equation} \overrightarrow{X}= \overrightarrow{p}+ \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\end{equation}
Ecuaciones paramétricas:
\begin{equation} r: \left \{ \begin{matrix} x=p_x+u_x \cdot \lambda+v_x \cdot \mu \\ y=p_y+u_y \cdot \lambda+v_y \cdot \mu \\ z=p_z+u_z \cdot \lambda+v_z \cdot \mu \end{matrix} \right . \end{equation}
Ecuación implícita:
\begin{equation} ax+by+cz+d=0 \end{equation}
\begin{equation} \begin{vmatrix} u_x & v_x & x-p_x \\ u_y & v_y & y-p_y \\ u_z & v_z & z-p_z \end{vmatrix}=0 \end{equation}
Ecuación del vector normal:
Para cualquier punto X(x,y,z), si pertenece al plano, el vector que va desde el punto P del plano a X ($x-p_x$, $y-p_y$, $z-p_z$) es perpendicular al vector normal del plano \overrightarrow { n } (a, b, c), lo que significa que su producto escalar es 0:
\begin{equation} a(x-p_x)+b(y-p_y)+c(z-p_z)=0 \end{equation}
Posiciones relativas de una recta y un plano:
Una recta está contenida o es paralela a un plano si su vector dirección es perpendicular al vector normal del plano. En caso contrario corta el plano. Para determinar si está contenida o es paralela al plano, se procede como en el caso de las rectas (se comprueba si un punto cualquiera del plano pertenece a la recta o viceversa).
Posiciones relativas de dos planos:
Se construyen dos matrices con las ecuaciones implícitas de los dos planos, una sin los términos independientes y otra con ellos:
\begin{equation} M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} M'=\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ a' & b' & c' & d' \end{pmatrix} \end{equation}
Si $ran(M)=ran(M')=1$, el segundo plano no aporta más información al sistema, por lo tanto se trata del mismo plano.
Si $ran(M)=ran(M')=2$, los planos son linealmente independientes, se cortan.
Si $ran(M)=1$ y $ran(M')=2$, los planos tienen la misma dirección porque los coeficientes son linealmente dependientes pero no se cortan porque los términos independientes no lo son, lo que significa que son paralelos.