2.4 Ecuaciones de un plano

Un plano tiene dos parámetros vectoriales fundamentales:

Un punto P, para determinar el vector posición del plano p.

Dos vectores $\overrightarrow { u }$ y $\overrightarrow { v }$, contenidos en el plano y linealmente independientes.

La ecuación de una recta, se puede escribir de distintas formas:

Ecuación vectorial:

$$\begin{equation}  \overrightarrow{X}= \overrightarrow{p}+ \lambda \cdot  \overrightarrow{u} + \mu \cdot  \overrightarrow{v}\end{equation}$$

Ecuaciones paramétricas:

$$\begin{equation} r:  \left \{ \begin{matrix} x=p_x+u_x \cdot \lambda+v_x \cdot \mu \\   y=p_y+u_y \cdot \lambda+v_y \cdot \mu \\  z=p_z+u_z \cdot \lambda+v_z \cdot \mu   \end{matrix}    \right .  \end{equation}$$

Ecuación implícita:

$$\begin{equation} ax+by+cz+d=0  \end{equation}$$

$$\begin{equation} \begin{vmatrix} u_x & v_x & x-p_x \\ u_y & v_y & y-p_y \\ u_z & v_z & z-p_z \end{vmatrix}=0  \end{equation}$$

Ecuación del vector normal:

Para cualquier punto X(x,y,z), si pertenece al plano, el vector que va desde el punto P del plano a X ($x-p_x$, $y-p_y$, $z-p_z$) es perpendicular al vector normal del plano \overrightarrow { n } (a, b, c), lo que significa que su producto escalar es 0:

  $$\begin{equation}  a(x-p_x)+b(y-p_y)+c(z-p_z)=0  \end{equation}$$

Posiciones relativas de una recta y un plano:

Una recta está contenida o es paralela a un plano si su vector dirección es perpendicular al vector normal del plano. En caso contrario corta el plano. Para determinar si está contenida o es paralela al plano, se procede como en el caso de las rectas (se comprueba si un punto cualquiera del plano pertenece a la recta o viceversa).

Posiciones relativas de dos planos:

Se construyen dos matrices con las ecuaciones implícitas de los dos planos, una sin los términos independientes y otra con ellos:

$$\begin{equation} M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \end{pmatrix}  \end{equation}$$  

$$\begin{equation} M'=\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ a' & b' & c' & d' \end{pmatrix} \end{equation}$$

Si $ran(M)=ran(M')=1$, el segundo plano no aporta más información al sistema, por lo tanto se trata del mismo plano.

Si $ran(M)=ran(M')=2$, los planos son linealmente independientes, se cortan.

Si $ran(M)=1$ y $ran(M')=2$, los planos tienen la misma dirección porque los coeficientes son linealmente dependientes pero no se cortan porque los términos independientes no lo son, lo que significa que son paralelos.