La continuidad de una función representa si esa función tiene "saltos" en un determinado punto. Una función es continua si toma un determinado valor calculable en cualquier punto. En caso de que en cierto punto una función no sea cuantificable, se trata de una función discontinua. Además, son funciones continuas las funciones por partes cuyo final de un tramo y principio del siguiente no toman el mismo valor.
Matemáticamente, una función es continua si:
\begin{equation} \forall x, \hspace{1cm} f(x^{+})=f(x^{-}) \end{equation}
Esto quiere decir, que debe tomar el mismo valor en un punto "acercándose" por la izquierda que por la derecha. Para comprender mejor este término, es necesario estudiar el concepto de límite.
Teorema de Bolzano:
El teorema de Bolzano enuncia que si una función es continua en el intervalo [a,b] y toma valores con signo opuesto en x=a y x=b, existe al menos un punto en el intervalo [a,b] en el que la función se anula.
Gráficamente, esto es muy intuitivo, ya que una línea continua desde un lado del eje x al otro debe cruzar dicho eje.