¿De dónde sale la solución a una ecuación de segundo grado?

Una ecuación de segundo grado es de la forma:

$$\begin{equation} ax^2+bx+c=0  \end{equation}$$

$$\begin{equation} ax^2+bx=-c  \end{equation}$$

Para llegar a una solución, es necesario eliminar el componente de $x^2$. La manera más sencilla de hacerlo es recurrir al cuadrado de una suma:

$$\begin{equation} (f+g)^2=f^2+g^2+2fg  \end{equation}$$

Como tenemos el término de $x^2$, se lo asignamos por ejemplo a f:

$$\begin{equation} f^2=mx^2 \rightarrow f=\sqrt{m} x \end{equation}$$

Para no tener raíces cuadradas, se multiplica la ecuación por 4a:

$$\begin{equation} 4a^2x^2+4abx=-4ac   \end{equation}$$

$$\begin{equation} (2ax+b)^2=4a^2x^2+4abx+b^2 \end{equation}$$

$$\begin{equation} 4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2   \end{equation}$$

$$\begin{equation} (2ax+b)^2=b^2-4ac   \end{equation}$$

$$\begin{equation} 2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}   \end{equation}$$

$$\begin{equation} 2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}   \end{equation}$$

$$\begin{equation} x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}   \end{equation}$$