En las funciones matemáticas, una característica muy importante a conocer es la forma en la que crecen o decrecen en determinados intervalos.
La tasa de variación media de una función f en un intervalo h se define como:
$\displaystyle {\frac{\Delta f}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, y representa su variación en el entorno de ese punto (su crecimiento o decrecimiento). Observando la definición de la tasa de variación media, la derivada de una función se puede obtener de forma similar, haciendo el intervalo de estudio tender a 0 mediante un límite:
$\displaystyle {f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\Delta f}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $
Derivadas laterales:
$\displaystyle {f'(x_0^+)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $
$\displaystyle {f'(x_0^-)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $
¿Cuándo es una función derivable?
En el estudio de continuidad de una función se aprecia que una función es continua en un punto cuando los límites laterales de la función en ese punto coinciden. Análogamente, una función es derivable cuando sus derivadas laterales coinciden.
Reglas de derivación:
Polinomios:
Para cada exponente en una función polinómica, se multiplica el coeficiente por dicho exponente y se resta 1 al exponente:
$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=n \cdot x^{n-1}$
Suma:
$(f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$
Producto:
$(f \cdot g)^{\prime}=f^{\prime} \cdot g+f \cdot g^{\prime}$
Cociente:
$\left(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\displaystyle \frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}}$
Regla de la cadena:
$(f \circ g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$
$\displaystyle \frac{d f}{d x}=\displaystyle \frac{d f}{d g} \displaystyle \frac{d g}{d x}$