Un determinante es una función que relaciona cualquier matriz cuadrada con un número, real o complejo, dependiendo de los elementos de la matriz.
El determinante se realiza mediante la suma del conjunto de productos entre los 3 elementos de las diferentes diagonales de la matriz. Las diagonales principales (de izquierda a derecha de arriba a abajo) van sumando, y las secundarias restando. Por ejemplo, con una matriz 3x3:
A=(123456789)
Determinante(A)=|A|=|123456789|==1⋅5⋅9+4⋅8⋅3+2⋅6⋅7−3⋅5⋅7−2⋅4⋅9−6⋅8⋅1==45+96+84−105−72−48=0
Con una matriz 2x2:
|B|=|1234|=1⋅4−3⋅2=5−6=−1
Un método general para calcular el determinante de una matriz es el método de los adjuntos.
El adjunto de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la submatriz cuadrada que no contiene elementos de la misma fila o columna del elemento original, precedido por un signo positivo si el número de fila y el número de columna del elemento original suman un número par, y negativo si suman un número impar.
El determinante de una matriz se puede obtener multiplicando los elementos de una determinada fila o columna por su correspondientes adjuntos, y sumándolos.
Este método es muy útil para matrices grandes que contienen algún 0. Si seleccionamos la fila o columna con más 0s no hará falta calcular los adjuntos de los elementos que son 0.
En el ejemplo de la matriz 3x3:
Determinante(A)=|A|=|123456789|==1⋅|5689|+(−)2⋅|4679|+3⋅|4578|==1⋅(5⋅9−6⋅8)−2⋅(4⋅9−6⋅7)+3⋅(4⋅8−5⋅7)==1⋅(45−48)−2⋅(36−42)+3⋅(32−35)==1⋅(−3)−2⋅(−6)+3⋅(−3)=−3+12−9=0