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2.3 Ecuaciones de una recta


Una recta r tiene dos parámetros vectoriales fundamentales:

Un punto P, para determinar el vector posición de la recta p.

Un vector dirección d, paralelo a la recta.

La ecuación de una recta, se puede escribir de distintas formas:

Ecuación vectorial:

\begin{equation}  \overrightarrow{X}= \overrightarrow{p}+ \lambda \cdot  \overrightarrow{d} \end{equation}


Ecuaciones paramétricas:

\begin{equation} r:  \left \{ \begin{matrix} x=p_x+d_x \cdot \lambda \\   y=p_y+d_y \cdot \lambda \\  z=p_z+d_z \cdot \lambda   \end{matrix}    \right .  \end{equation}

Ecuación continua:

\begin{equation}  \frac{x-p_x}{d_x}=\frac{y-p_y}{d_y}=\frac{z-p_z}{d_z}  \end{equation}

Ecuación implícita:

\begin{equation} r:  \left \{ \begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0  \\   a ^ \prime \cdot x + b ^  \prime \cdot y + c ^ \prime \cdot z + d ^ \prime = 0   \end{matrix}    \right .  \end{equation}

Posiciones relativas de dos rectas:

Al analizar la posición relativa de una recta respecto de otra, se comparan los vectores dirección y se tiene que: Si $ \overrightarrow { d } \parallel \overrightarrow { { d' } }$, es decir, si los vectores dirección son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección. Por lo tanto, o coinciden, o son paralelas. Para determinar si coinciden se introducen los valores de un punto de una recta en la ecuación de la otra. Si cumple las condiciones, son rectas coincidentes, si no las cumple, son paralelas.

Si $ \overrightarrow { d }$ no es paralelo a $\overrightarrow { { d' } }$, las rectas se cortan o se cruzan. Para determinar si se cortan se comprueba que $ \overrightarrow { d }$, $\overrightarrow { { d' } }$ y $\overrightarrow { { PP' } }$ son linealmente independientes:

\begin{equation} M'=\begin{pmatrix} d_x & d_x' & p_x'-p_x \\ d_y & d_y' & p_y'-p_y \\ d_z & d_z' & p_z'-p_z \end{pmatrix}  \end{equation}  
\begin{equation} \begin{matrix}\text{Si det(M')=0, r y s se cortan} \\ \text{Si det(M') $\neq$ 0, r y s se cruzan} \end{matrix}  \end{equation}


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